线性代数习题及答案,华南理工大学版的
a1n 1
a2n 0 X 0
ann 0 ，由AX 0，可得ai1 0 证明：记，取
a 0i,j 1,2, ,n
（i 1,2, ,n） 。同理可得ij（） 。从而A 0 。
a11
aA 21
an1
a12a22 an2
11. 已知4阶方阵A的行列式
A 5
，求
A*
。
5
解：因为
AA AE，两边取行列式有
AA A
。所以
A* 54 625
。
A0 CB
可逆，并求逆。 12. 设A，B分别为m，n阶可逆方阵，证明分块矩阵
A0 A0
AB 0 CB A 0B 0CB B可逆，证明：因为 A，所以 。故 ，从而 A0 A0 X11X12
E CB CB XX22 的逆，则 21是 ，
X11 A 1AX11 E
X12 0AX 0 12
1 1X BCACX BX 0 A0 21 21 11
CB CX12 BX22 EX22 B 1 的逆为 于是 ，解得。故矩阵 X11
X
可逆。记 21
X12 X22
A 1
1 1 BCA
0 B 1 。
0A X
C0 ，其中A 1，C 1存在，求X 1。 13. 设
0C 1 0A 0C 1 0A
X E 1 1 C0C0A0A0 的逆为 。 解：因为 ，所以
14. 求下列矩阵的秩：
224114
1 1 302 1
32 1 3 121113 2 131 705 1 312 2 1 1 ； ；2） 1）