线性代数习题及答案,华南理工大学版的
于
a11a12
0a22 A E
0 0
a1na2n ann
10 0
01 0
00 1
，先进行第二类初等行变换
1ri
aii（i 1,2, ,n）
，再作第三类初等行变换把左边变成单位矩阵时，右边即为上
三角矩阵。亦即可逆的上三角矩阵的逆仍是上三角矩阵。 5. 已知实三阶方阵A满足：1）
aij Aij
3
A
；2）a33 1 。求 。
aij Aij
，从而有
AA AE，所以
解：因为
是
AA A
。由于
A A A
。于
A 0
或
A 1
。
若
A 0
，则AA AA 0，由于A为实三阶方阵，由习题3可得A 0。此
A 1
与a33 1矛盾。从而。
6. 设A E ，其中 是n 1非零矩阵。证明：
2
1）A A的充分必要条件是 1； 2）当 1时，A是不可逆矩阵。
证明：1）若A A，即有E ( 2) E 。又 是n 1非零矩阵，所以 是n n非零矩阵，从而 2 1，即 1。以上每步可逆，故命
2
题成立。
2
2）当 1时，由1），A A。若A可逆，则可得A 0，矛盾。故A是不可逆矩阵。
7. 设A，B分别是n m、m n矩阵，证明：
EmA
B
En AB Em BAEn
EmA
B
En ABEn
。
Em0 Em AEn A 证明：因为
B Em
En 0B
En AB
，所以；又
EmB Em0 AE AE
n n
8. A，B如上题，
EmBBAB Em
Em BA AE0Enn ，所以。从而命题成立。 n m
E AB Em BAn 0
。证明：
。
0 Em
1 Em
AEn A 证明：由于 0，可得
E
B m
En 0
En AB
，所以
B1