线性代数习题及答案,华南理工大学版的
a1 A
4 .设
为对角矩阵。
a2
an a1,a2, ,an
，互不相同。证明与A可交换的矩阵只能
证明：设与A可交换的矩阵为
b11b12
b
b2221 B
bn1bn2
b1n b2n bnn
，由AB BA得：
a1b11a1b12 ab
221a2b22
anbn1anbn2 a1b1n a1b11a2b12
ab a2b2n 121a2b22
anbnn a1bn1a2bn2
anb1n anb2n
anbnn
。
b 0abiij ajbij（i,j 1,2, ,n）。由于a1,a2, ,an互不相同，所以i j时，ij。
b110 0 0b 022 B
0b 0n2 。即B为对角矩阵。 故
即
5. 证明任一方阵可表示成一对称矩阵和一反对矩阵之和。 证明：设A为方阵，记
B
(A A )
2
，
C
(A A )
2
，则可知B为对称矩阵，C为
反对称矩阵。且A B C。
mmf( ) a a af(A) aA a1A a0E，m10，m6. 设定义其中A是n
211
A 312
1 10 2
f( ) 1 ，计算f(A)。 阶方阵。已知，
513
f(A) A2 A E 803
21 2 。 解：
2
7. 已知方阵A满足A A 7E 0。证明A及A 2E可逆，并求它们的逆矩阵。
(A E) 1
A 2
7。证明：由A A 7E 0，可得：A(A E) 7E。所以A可逆，且