2012年高考数学一轮精品复习讲义：选修系列(第1部分：坐标系与参数方程)
注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即( , ),( ,2 ),( , ),( , ),都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程 ,点M(
(
4,4
)可以表示为
4
,
2 或) 2或)(-444
5
4
)等多种形式,其中,只有(,)的极坐标满足方程 .
444
二、参数方程 1.参数方程的概念
x f(t)
一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数 ①,并
y g(t)
且对于t的每一个允许值,由方程组①所确定的点M(x,y)都在这条曲线上,那么方程①就叫做这条曲线的参数方程,联系变数x,y的变数t叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.
2.参数方程和普通方程的互化
(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.
(2)如果知道变数x,y中的一个与参数t的关系,例如x f(t),把它代入普通方程,求出另一个变数与
x f(t) y g(t)
参数的关系y g(t),那么 的取值范围保持一致.
就是曲线的参数方程,在参数方程与普通方程的互化中,必须使x,y
注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。应用参数方程解轨迹问题，关键在于适当地设参数，如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。
3．圆的参数
如图所示，设圆O的半径为r，点M从初始位置M0出发，按逆时针方向在圆O上作匀速圆周运动，
x rcos
( 为参数)。 设M(x,y)，则
y rsin
这就是圆心在原点O，半径为r的圆的参数方程，其中 的几何意义是OM0转过的角度。 圆心为(a,b)，半径为r的圆的普通方程是(x a) (y b) r，
2
2
2