解：令f(x) x sinx，则f (x) 1 cosx 0,x 0,
. 2
且仅当x
0时，f (0) 0，故在 0, 上，f(x)单调增加
2
f(x) x sinx 0 f(0),即x sinx, 又在 0, 上，x sinx，即f(x) 0,
2
2
20
xdx 2sinxdx
20
(5)
sinxdx，
sinxdx
知识点：定积分性质
思路：通过比较被积函数在积分区间内的大小，判定积分值的大小
0
解：当x ,0 ，sinx 0，从而 sinxdx 0；
2 2
又当x 0,，sinx 0，从而 2sinxdx 0
0 2
所以
sinxdx
2
01
20
sinxdx
(6)
1
ln(1 x)dx，
x
dx 1 x
知识点：定积分性质
思路：通过比较被积函数在积分区间内的大小，判定积分值的大小 解：令F(x) ln(1 x)
11xx
0,x (0,1). ，则F (x) 22
1 x(1 x)(1 x)1 x
所以F(x)在(0,1)单调增加，且F(0) 0， 故F(x) 0,x (0,1)， 所以
1
F(x)dx 0 F(x)dx 0 ln(1 x)dx
1
1
000
1
x
dx 1 x
★★★5.利用积分中值定理证明：
lim
n 0
xn
0 1 x