(1)若在
a,b 上, f(x) 0,且 a
b
f(x)dx 0,则在 a,b 上, f(x) 0;
知识点：定积分性质
思路：用反证法，通过定积分的估值不等式得到矛盾结论来证明 证明：设x0 (a,b)，但f(x0) 0，不妨设f(x0) 0，
∵
f(x)在x0处连续，∴limf(x) f(x0) 0，
x x0
由极限的保号性： (x0从而 ∴
,x0 ) (a,b)，使当x (x0 ,x0 )时， 有f(x) 0，
b
b
a
a
x0
x0
f(x)dx 0 f(x)dx 0，与条件 f(x)dx 0矛盾！
f(x) 0 ， x (a,b)，
b时，f(a) 0,f(b) 0
同理可证：当x a或x 所以
f(x) 0，x [a,b]
(2)若在
a,b 上, f(x) 0,且f(x) 0,则 a
b
f(x)dx 0;
知识点：定积分性质
思路：反证法和(1)的结论来求证 证明：因为f(x) 0(x a,b )，所以
而
b
a
f(x)dx 0，
b
a
f(x)dx是数值，它仅有零或非零两种可能
b
若设从而(3)若在
ab
f(x)dx 0，则由上面已证，在上必有f(x) 0， 这与题设f(x) 0矛盾， f(x)dx 0.
b
a
a,b 上, f(x) g(x),且 af(x)dx g(x)dx,则在 a,b 上, f(x) g(x).
a
b
知识点：定积分性质
思路：由定积分性质和(1)结论求证
证明：设F(x) f(x) g(x),x [a,b]，则由题设可知：F(x) 0,x [a,b]
又因为
b
a
F(x)dx f(x)dx g(x)dx 0，
a
a
bb