知识点：定积分性质
思路：利用定积分的中值定理求极限
n 1 1 x证：由积分中值定理知，存在一点 n 0, ，使 n， 01 x1 n2 2
因为0 n
n1
，所以lim n 0 lim 0，
n 1 n 2n
所以lim
n 0
1xn
limn 0.
n 1 1 xn2
1★★★6.设函数
f(x)在 0,1 上连续，在(0,1)内可导，且3 f(x)dx f(0)
f( ) 0.
证明：在(0,1)内至少存在一点 ，使
知识点：定积分性质
思路：先利用积分中值定理，得到满足罗尔定理条件，再求证 证：由积分中值定理知，在 ,1 上存在一点c，使
3
12
f(x)dx 3 f(c)(1 ) f(c) f(0)，
3
故
f(x)在区间 0,c 上满足罗尔定理条件，因此至少存在一点 (0,c) (0,1)，使
f ( ) 0
习题5-3
★1．设
y sintdt,求y (0),y ().
04
x
知识点：积分上限函数求导公式
思路：先利用积分上限函数导数公式求出导数,再把特殊点代入计算
解：因为y (x) sinx,
所以y (0) 0,y ()
4
2
★2．计算下列各导数:
dx2; (1) 0dx