解:易见函数f(x) x C a,b ，从而可积，将 a,b 分成n等分，则 xi
于是 i
b a
, n
0 n ,；取 i(i 1,2 ,n)为第i个小区间的右端点，则
b a a i,i 0,1,2, ,n 1,
n
所以
b
a
b ab a
xdx lim f( i) xi lim (a i)
0n nni 0i 0
n 1n 1
1b a[na (0 1 2 n 1)]}
n nn
b an(n 1)b a1
(b a)lim[a 2] (b a)lim[a (1 )]
n n n22n
b a1
(b a)(a ) (b2 a2).
22
(b a)lim{(2)
e
1
lnxdx
in
解:用分点xi e(i 0,1, ,n)划分区间 1,e ：
xi则 i
xi xi 1 e e,i 1,2, ,n， 取 i是区间右端点，
in
in
ini 1n
i
xi e,f( i) ln( i) lne ,
n
e
n
n
ii 1in
作和，并取极限得： lnxdx lim f( i) xi lim (e en)
1n n
i 0i 1ni1i 1n
ini 1i 1
en en)]} lim{ e [ (
n nni 1ni 1
n
1
111i 1(1 e)n
e (1 e)lim() e lim e e lim11n nn n nni 1
1 en(1 en)
n
记g(x)
x
1 ex
，则当x 0时，g(x)是
型的，由洛必达法则， 0
有 lim
x1
lim 1
x 01 exx 0 ex
从而，当n 时，有
1
n nlim
11 e
1n
1，故
e
1
lnxdx e (1 e) 1.
★3．利用定积分的几何意义，说明下列等式：