数值分析第五版答案
且R (xk) R (xk 1) 0
R(x)可写成R(x) g(x)(x xk)2(x xk 1)2
其中g(x)是关于x的待定函数，
现把x看成[xk,xk 1]上的一个固定点，作函数
(t) f(t) H3(t) g(x)(t xk)2(t xk 1)2 根据余项性质，有
(xk) 0, (xk 1) 0
(x) f(x) H3(x) g(x)(x xk)2(x xk 1)2
f(x) H3(x) R(x) 0
(t) g(x)[2(t xk)(t xk 1)2 2(t xk 1)(t xk)2] (t) f (t) H3
(xk) 0
(xk 1) 0
由罗尔定理可知，存在 (xk,x)和 (x,xk 1)，使
( 1) 0, ( 2) 0
即 (x)在[xk,xk 1]上有四个互异零点。
根据罗尔定理， (t)在 (t)的两个零点间至少有一个零点， 故 (t)在(xk,xk 1)内至少有三个互异零点， 依此类推， (4)(t)在(xk,xk 1)内至少有一个零点。 记为 (xk,xk 1)使
(4)( ) f(4)( ) H3(4)( ) 4!g(x) 0 又 H3(4)(t) 0
f(4)( )
g(x) , (xk,xk 1)
4!