全国大学生数学竞赛大纲
n 0
f(n) xn，
n 0
2
11
lim lim 1 x 11 xx 1 1
ln
0
f(t)dt xdt e
t2
t2ln
1
x
dt
1ln
1 x
0
e tdt
2
112lnx
，
所以，当x 1时, 与
xn等价的无穷大量是
n 0
2
1
。
21 x
第二届(2010年)全国大学生数学竞赛预赛试卷及参考答案
（非数学类）
(150分钟)
一、（25分，每小题5分） （1）设xn (1 a)(1 a2)（2）求lime x 1
x
xn. (1 a),其中|a| 1,求lim
n
2n
1 。 x
x2
（3）设s 0，求I
e sxxndx(n 1,2,)。
2g 2g 1
（4）设函数f(t
)有二阶连续导数，r g(x,y) f ，求2 2。
x y r
（5）求直线l1:
x y 0x 2y 1z 3
与直线l2:的距离。 4 2 1 z 0
解：（1）xn (1 a)(1 a2)=(1 a2)(1 a2)
n
(1 a2)=xn (1 a)(1 a)(1 a2)
=(1 a2)/(1 a)
n 1
n
(1 a2)/(1 a)
n
(1 a2)/(1 a)=
n 1
limxn lim(1 a2)/(1 a) 1/(1 a)
n
n
11
lne x(1 )xx2ln(1 )1 x xx
lime(2) lime 1 lime
x x x
x
2
x2
x
令x=1/t,则
(ln(1 t) t)
原式=lime
t 0
t
lime
t 0
1/(1 t) 1
2t
lime
t 0
12(1 t)
e
12