全国大学生数学竞赛大纲
limg(x) lim
x 0
x 0
x0
f(u)dux
lim
x 0
f(x)
f(0) 0 1
当x 0时，
g (x)
1x2
x0
f(u)du
f(x)
， x
x1x
f(t)dtf(t)dt 0 f(x)Ag(x) g(0)0 lim g (0) lim lim lim2x 0x 0x 0x 02x2xxx
1xf(x)f(x)1xAA
limg (x) lim[ 2 f(u)du ] lim lim2 f(u)du A
0x 0x 0x 0x 0xx0xx22
这表明g (x)在x 0处连续.
四、（15分）已知平面区域D {(x,y)|0 x ,0 y }，L为D的正向边界，试证：
（1）xesinydy ye sinxdx xe sinydy yesinxdx；
L
L
（2）xe
L
siny
5
dy ye sinydx 2.
2
证 因被积函数的偏导数连续在D上连续，故由格林公式知 （1）xesinydy ye sinxdx
L
siny sinx (xe) ( ye) dxdy x y D
(esiny e sinx)dxdy
D
sinysinx
xedy yedx L
(xe siny) ( yesinx) dxdy
x y D
(e siny esinx)dxdy
D
而D关于x和y是对称的，即知
siny sinx sinysinx(e e)dxdy (e e)dxdy D
D
因此
siny sinx sinysinx
xedy yedx xedy yedx L
L
（2）因
t2t4
e e 2(1 ) 2(1 t2)
2!4!
t
t
故