全国大学生数学竞赛大纲
xn
y e(C )
n
x
因此
xn
un(x) e(C )
n
e1
由 un(1) e(C )知，C 0， nn
x
于是
xnexun(x)
n
下面求级数的和：
令
xnex
S(x) un(x) nn 1n 1
则
xnexexn 1x
S (x) (xe ) S(x) xe S(x)
n1 xn 1n 1
n 1x
即
ex
S (x) S(x)
1 x
由一阶线性非齐次微分方程公式知
S(x) ex(C
1
x) 1 x
令x 0，得0 S(0) C，因此级数
u
n 1
2
n
(x)的和
S(x) exln(1 x)
八、（10分）求x 1时, 与
2
xn等价的无穷大量.
n 0
2
解 令f(t) xt，则因当0 x 1，t (1, )时，f (t) 2txtlnx 0，故
f(t) x e
0
t2
t2ln
1
x
在(0, )上严格单调减。因此
f(t)dt
n 0
n 1
n
f(t)dt f(n) f(0)
n 0
n 1
n
n 1
f(t)dt 1
f(t)dt
即
又
0
f(t)dt 1 f(n) 1
n 1
0
f(t)dt