全国大学生数学竞赛大纲
解得A
4102。因此f(x) 3x 33
x2
y2 2平行平面2x 2y z 0的切平面方程是__________. 3．曲面z 2x2
y2 2在解 因平面2x 2y z 0的法向量为(2,2, 1)，而曲面z 2
(x0,y0)处的法向量为(zx(x0,y0),zy(x0,y0), 1)，故(zx(x0,y0),zy(x0,y0), 1)与
(2,2, 1)平行，因此，由zx x，zy 2y知2 zx(x0,y0) x0,2 zy(x0,y0) 2y0，
即x0 2,y0 1，又z(x0,y0) z(2,1) 1，于是曲面2x 2y z 0在(x0,y0,z(x0,y0))
x2
y2 2平行平面 处的切平面方程是2(x 2) 2(y 1) (z 1) 0，即曲面z 2
2x 2y z 0的切平面方程是2x 2y z 5 0。
4．设函数y y(x)由方程xe
f(y)
eyln29确定，其中f具有二阶导数，且f 1，
d2y
则2 ________________. dx
解法1 方程xe
f(y)
eyln29的两边对x求导，得
ef(y) xf (y)y ef(y) eyy ln29
即
1
[ f (y)y ]xef(y) y eyln29 x
11yf(y)
0，故 f (y)y y ，即y 因eln29 xe，因此
xx(1 f (y))
d2y1f (y)y
y 222
dxx(1 f(y))x[1 f(y)]
f (y)1f (y) [1 f (y)]2
2 2 323
x[1 f (y)]x(1 f (y))x[1 f (y)]
解法2 方程xe
f(y)
eyln29取对数，得f(y) lnx y lnln29 （1）
1
y （2） x
方程（1）的两边对x求导，得f (y)y 即y
1
（3）
x(1 f (y))
2
方程（2）的两边对x求导，得f (y)y f (y)(y ) 将（3）代入（4），得
1
y （4） 2x
f (y)y
将左边的第一项移到右边，得
f (y)1
y 222
x(1 f (y))x