全国大学生数学竞赛大纲
12
z x xy 4x y y c
2
2
方法二：
z dz Pdx Qdy
x,y
0
2x y dx x y dy4 ,
P Q
, 该曲线积分与路径无关 y x
12
z 2x 4 dx x y 1 dy x 4x xy y y
002
x
y
2
三．（本题15分）设函数f(x)在x=0的某邻域内具有二阶连续导数，且
f 0 ,f' 0 ,f" 0 均不为
0，证明：存在唯一一组实数k1,k2,k3，使得
h证明：由极限的存在性：lim k1f h k2f 2h k3f 3h f 0 0
h 0
lim
k1f h k2f 2h k3f 3h f 0
2
0。
h 0
即
k1 k2 k3 1 f 0 0，又f 0 0， k1 k2 k3 1①
k1f h k2f 2h k3f 3h f 0 h2
k1f' h 2k2f' 2h 3k3f' 3h
由洛比达法则得
lim
h 0
2h'''kfh 2kf2h 3kf由极限的存在性得lim 3h 23 1 0
h 0
h 0
lim 0
即
k1 2k2 3k3 f' 0 0，又f' 0 0， k1 2k2 3k3 0②
k1f' h 2k2f' 2h 3k3f' 3h 2h
k1f" h 4k2f" 2h 9k3f" 3h
f" 0 0
0
再次使用洛比达法则得
lim
h 0
2
k1 4k2 9k3 f" 0 0
h 0
lim
k1 4k2 9k3 0③