全国大学生数学竞赛大纲(14)

全国大学生数学竞赛大纲

（1）设L为正向闭曲线(x 2)2 y2 1,证明

c

2xydx (x)dy

0;

x4 y2

（2）求函数 (x)；

（3）设C是围绕原点的光滑简单正向闭曲线，求解：

（1） L不绕原点，在L上取两点A，B，将L分为两段L1，L2，再从A，B作一曲线L3，

使之包围原点。

则有

c

2xydx (x)dy

。 42

x y

2xydx (x)dy2xydx (x)dy2xydx (x)dy

424242 x yx yx yLL1 L3L L

2

3

（2） 令P

2xy (x)

,Q

x4 y2x4 y2

由（1）知

Q P 0，代入可得 x y

'(x)(x4 y2) (x)4x3 2x5 2xy2

上式将两边看做y的多项式，整理得

y2 '(x) '(x)x4 (x)4x3 y2( 2x) 2x5

由此可得

'(x) 2x

'(x)x4 (x)4x3 2x5

解得： (x) x

（3） 取L为x y ，方向为顺时针

'

2

424

Q P 0 x y

c

2xydx (x)dy2xydx (x)dy2xydx (x)dy

x4 y2 x4 y2

x4 y2

c L'L'

4L'

2

2xydx xdy

1