全国大学生数学竞赛大纲
esinx e sinx 2 sin2x 2
由
1 cos2x5 cos2x
22
siny sinysiny sinx sinysinx
xedy yedx (e e)dxdy (e e)dxdy L
D
D
知
siny sinyxedy yedx L
11siny sinx sinysinx
(e e)dxdy (e e)dxdy 2D2D
11siny siny sinxsinx sinxsinx
(e e)dxdy (e e)dxdy (e e)dxdy 2D2D
D
sinx0
(e
即
e
sinx
)dx
5 cos2x5
dx 2 22
52siny sinyxedy yedx 2L
五、（10分）已知y1 xex e2x，y2 xex e x，y3 xex e2x e x是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.
解 设y1 xex e2x，y2 xex e x，y3 xex e2x e x是二阶常系数线性非齐次微分方程
y by cy f(x)
的三个解，则y2 y1 e x e2x和y3 y1 e x都是二阶常系数线性齐次微分方程
y by cy 0
的解，因此y by cy 0的特征多项式是( 2)( 1) 0，而y by cy 0的特征多项式是
2 b c 0
y1 2y1 f(x)和 因此二阶常系数线性齐次微分方程为y y 2y 0，由y1
ex xex 2e2x，y1 2ex xex 4e2x y1
y1 2y1 xe 2e 4e知，f(x) y1
x
x
2x
(xex ex 2e2x) 2(xex e2x)
(1 2x)ex
二阶常系数线性非齐次微分方程为
y y 2y ex 2xex
2
六、（10分）设抛物线y ax bx 2lnc过原点.当0 x 1时,y 0,又已知该抛
物线与x轴及直线x 1所围图形的面积为的旋转体的体积最小.
1
.试确定a,b,c,使此图形绕x轴旋转一周而成3
2
解 因抛物线y ax bx 2lnc过原点，故c 1，于是