全国大学生数学竞赛大纲
1 1 sxn
In e sxxndx ( ) xnde sx ( )[xne sx| edx] 0 000ss（3）
nnn(n 1)n!n! sxn 1exdx I I I n
1n 20
s 0ss2snsn 1
（4）略（不难，难得写）
（5二、（15分）设函数f(x)在( , )上具有二阶导数，并且
f (x) 0,limf (x) 0,limf (x) 0,且存在一点x0，使得f(x0) 0。
x
x
证明：方程f(x) 0在( , )恰有两个实根。
解：（简要过程）
二阶导数为正，则一阶导数单增，f(x)先减后增，因为f(x)有小于0的值，所以只需在两边找两大于0的值。 将f(x)二阶泰勒展开
f''( )2
f(x) f(0) f(0)x x
2
'
因为二阶倒数大于0，所以
x
limf(x) ，limf(x)
x
证明完成。
x 2t t2
三、（15分）设函数y f(x)由参数方程 (t 1)所确定，其中 (t)具有二阶
y (t)
导数，曲线y (t)与y
t2
1
e udu
2
3
在t 1出相切，求函数 (t)。 2e
d2y
解：（这儿少了一个条件2
dx
）由y (t)与y
t2
1
e udu
2
3
在t 1出相切得 2e
(1)
32'
， (1) 2ee
dydy/dt '(t) dxdx/dt2 2t
d2yd(dy/dx)d(dy/dx)/dt ''(t)(2 2t) 2 '(t)
=。。。 dx2dxdx/dt(2 2t)3
上式可以得到一个微分方程，求解即可。 四、（15分）设an 0,Sn
a,证明：
kk 1
n