历年试题及答案
（1）求limxn； （2）证明数列
n
xn 单调减少.
解：（1）显然 2n 12n 1
n2 2n xn n
2
故有
limn
xn 0.
2 n 1
（2）xn 1
1
n2
k
k 0
2n
1
1
k 0
n 1
2
k
1
n 1
2
2n 1
n 1
2
2n 2
，
2n
x2 11
n xn 1 k 0n2
kn 1
n 1 2 k
n2 4n 2 n2 4n 3
2n 1 2n 1
1n2 2nn2
4n 1 1 n2 2n n2 4n 1
2n n 1
n2
2nn2
4n 1 0，
于是数列 xn 单调减少.
六．解：（1）
f x 13x2 2
3
，在 0, 上严格单调递增，
欲使
f a,b a,b ，必有f a a，f b b. 考虑
f x 12
3x2 3
x，
x2 3x 2 0，
2
2
3 1
x 2 2
，
x1 1，x2 2，
所以存在区间
1,2 ，使f 1,2 1,2 .