浙江省高等数学(微积分)竞赛 工科类(17)

历年试题及答案

33

1 x n x x 1 x 2 n 0 2

x3

n(n 1)xn 2 2n 2

n 20

故 x 中x的系数为171.

n 1

四、(20分) 计算

解： 而

3

C

xyds,其中C是球面x2 y2 z2 R2与平面x y z 0的交线.

C

C

C

(x y z)2ds (x2 y2 z2)ds 2 (xy yz zx)ds

C

(x y z)2ds 0,

C

C

(x2 y2 z2)ds R2ds 2 R3, xyds yzds zxds,

C

C

C

故

C

xyds

R3

3

.

n

五、(20分)设a1,a2, ,an为非负实数,试证:

n

a

k 1

k

sinkx sinx的充分必要条件为

ka

k 1

k

1.

证明：必要性 由于

aksinkx sinx,则 ak

k 1

k 1

n

nn

sinkxsinx

, x 0

xx

n

sinkxsinx

lim ak kak lim 1. x 0x 0xxk 1k 1

n

充分性;要证明

a

k 1

n

k

sinkx sinx,只需证明:

a

k 1

k

sinkx

1,这里sinx 0,

sinx

若sinx 0,不等式显然成立;

即只需证明:

ak

k 1

n

sinkx

1, sinx