历年试题及答案
四．（本题满分20分） 设函数f连续，a b，且 f x 0，
a
b
试证明：f x 0，x a,b 。 证明: ① f x lim f( i) xi
ab
n
0
i 1
由于a b, 故 xi 0, 无论 a,b 怎么分、 i xi 1,xi 怎么取，
lim f( i) xi存在且相等， 即lim f( i) xi 0，
0
i 1
nn
0
i 1
由于f连续，故f x 0，x a,b ；（理由说的不够充分） ②假设存在x0 a,b ，使得f x0 0，不妨设f x0 0， 则 0, x [x0 ,x0 ],都有f x 0，
由于函数f连续，故在[x0 ,x0 ]内存在最大、最小值分别为M0,m0，显然M0 0,m0 0，
而 f x
ab
x0 x0
f x 2 m0 0与 f x 0矛盾，
a
b
故假设错误，即f x 0，x a,b 。 五．（本题满分15分） 判别级数
n
n 1
的敛散性。
n
解：斯特林公式：n! e12n,0 1
e
极限形式：lim
n
n!enn
n 12
1.
n 1
n 1