历年试题及答案
2
3、求 1
dy1
ex0 y
ey2
x dx.
解: 1
dy1
ex2
x2
0 y
ey2
x dx
10dy 1eyxdx 10dy 1y
ey2
dx 1dx
x
ex
2
xdy 1dy 1yey20dx
1
x2
1
y)ey2
edx (1 dy 1
2
e 1
xexdx
2
. 4、求过(1,2,3)且与曲面z x (y z)3的所有切平面皆垂直的平面方程.
解:令F(x,y,z) x (y z)3 z
则F2
x (x,y,z) 1,Fy (x,y,z) 3(y z),Fz (x,y,z) 3(y z)2 1令所求平面方程为: A(x 1) B(y 2) C(z 3) 0,
在曲面z x (y z)3上取一点(1,1,1),则切平面的法向量为{1,0, 1}, 则A C 0
在曲面z x (y z)3上取一点(0,2,1),则切平面的法向量为{1,3, 4}, 则A 3B 4C 0. 解得: A B C
即所求平面方程为: x y z 6.
二、(15分)设f(x) ex
x3
6
,问f(x) 0有几个实根?并说明理由.
解: 当x 0, ex
0 x3
6
0, e0
0且ex
的增长速度要比x3
当x 6
来得快!所以f(x) 0无实根.
3
三、(满分20分)求 xn 中x20
的系数.
n 1
333
解: 当x 1时, n x 1 3
xn 1
1 x 1 x x