浙江省高等数学(微积分)竞赛 工科类(4)

历年试题及答案

max xy,x3

d

D

xyd x3d x3d

D1

D2

D3

D4

16

二．（本题满分20分） 设f x arctan

1 x

，求fn 0 . 解: f (x) 11 x

2

, 则(1 x2

)f (x) 1, 则两边对x求(n 1)阶导数,由莱布尼茨公式得:

(1 x2)f(n)(x) 2(n 1)xf(n 1)(x) n(n 1)f(n 2)(x) 0,

令x

0,得:

f(n)(0) n(n 1)f(n 2)(0),而f (0) 1,f (0) 0,

当n为偶数;则

f

(n)

(0) 0,

n 1

. ( 1)2n!,当n为奇数;