微分中值定理毕业论文
f ( )
f(b) f(a)
0○2
b a
f(b) f(a) f(x) x 0○3 b a x
成立.亦即
记
f(b) f(a) F(x) f(x) x,x a,b ,
b a
则由F(x)满足罗尔定理的条件知,存在 (a,b)使得○3成立,进而○2成立.从而拉格朗日中值定理成立.
4.1.3 柯西中值定理的新证法[3] 证明首先构造辅助函数:
X g(x)
Y f(x)
由于g (x) 0,故可知g (x)恒大于零或者恒小于零.否则,由费马定理可知,必存在 a,b 使得g ( ) 0.我们不妨设g (x)恒大于零.于是,对于任意X Xa,Xb ,其中Xc g(c),
c a,b .又由复合函数连续性定理即含参变量函数定理可证得:Y f(x) f(g 1(X))在闭区间 Xa,Xb 上连续;在开区间 Xa,Xb 内可导,且
df(x)
dg(x)dx
dYdX
X X
dY(x)
dX(x)
x
f (x)
g (x)
x
x
故即是要证明
dYdX
f(g 1(Xb)) f(g 1(Xa)) ,
Xb Xa
X X
因此可构造辅助函数:
f(g 1(Xb)) f(g 1(Xa))
(X) f(g(X)) X
Xb Xa
1
可以验证 (X)满足罗尔定理的条件,故至少存在一个X Xa,Xb ,使得