微分中值定理毕业论文
M必为f(x)的极大值点.又有M (a,b)且f(x)在 a,b 内可导,有费马定理,存在一点
M,使得
f ( ) 0
证毕.
3.3 拉格朗日中值定理
定理3 若函数f(x)满足:
(1) 在闭区间 a,b 上连续; (2) 在开区间 a,b 内可导;
则至少存在一点 (a,b)使得
f ( )
f(b) f(a)
.
b a
拉格朗日定理的几何意义:如图所示,过A(a,f(a)),B(b,f(b))两点的直线斜率
KAB
f(b) f(a)
,而拉格朗日定理则表明了存在于曲线上的A,B两点某点的切线必定
b a
平行于直线AB.
证法利用罗尔中值定理,构造辅助函数.
f(b) f(a)
F(x) f(x) f(a) (x a) .
b a
证明作辅助函数
f(b) f(a)
F(x) f(x) f(a) (x a)
b a
显然,F(x)在 a,b 上连续, 在 a,b 内可导,且f(a) f(b) 0,由罗尔定理可知,存在一点 (a,b)使得F ( ) 0即
f ( )
f(b) f(a)
b a