微分中值定理毕业论文
fi(b) fi(a)
1 fj ( ) 0. i,j 1 fj(b) fj(a)
n
证明根据题意,设
F(x)
fi(b) fi(a)
1 fj(x) i,j 1 fj(b) fj(a)
n
显然F(x)在 a,b 上连续, 在 a,b 内可导,并且
F(b) F(a)
fi(b) fi(a)
1 [fj(b) fj(a)]
f(b) f(a)i,j 1 j j
n
i,j 1
[f(b) f(a)][f
i
i
n
j
(b) fj(a)] 0
即F(a) F(b),所以由罗尔中值定理可知在 a,b 至少存在一点 使得
fi(b) fi(a)
1 fj ( ) F ( ) 0 f(b) f(a)i,j 1 j j
n
证毕.
当上述式子中n 2时,可得到柯西中值定理;
当上述式子中n 2,f2(x) x时,可得到拉格朗日中值定理.
4.3 微分中值定理的弱逆定理
在一定的附加条件下微分中值定理的弱逆定理成立. 凹凸性的定义:
定义1 若函数曲线位于其每一点处切线的上方(下方),则称函数曲线时下凸(上凸)的,或称函数向下凸(上凸).
定义2 若y f(x)的一阶导数f (x)在 a,b 上单调递增(或递减),则称f(x)在 a,b 是向上凹(下凹)的,或称函数曲线向上凹(下凹).
定理11 (拉格朗日中值定理的弱逆定理) 设f(x)在[a,b]上连续,在 a,b 内可微,若
[6]
f (x)在 a,b 严格单调,则对任意的 a,b ,存在x1 x2使得
f(x2) f(x1) f ( ) x2 x1
成立.