微分中值定理毕业论文
dYdX
X X
f(g 1(Xb)) f(g 1(Xa))
Xb Xa
成立.再由
dYdX
dY(x)dX(x)
df(x) dg(x)dx
f (x)g (x)
X X
x
x
x
知,至少存在 a,b 使得
f ( )f(b) f(a)
g( )g(b) g(a)
成立,柯西中值定理得证.
4.2 微分中值定理的推广
几种微分中值定理的推广形式
微分中值定理是微分学的核心内容,而随着其不断地发展和完善,衍生了许多微分中值定理的推广.以下是几种微分中值定理的推广形式: 4.2.1 罗尔定理的推广[4]
定理5 设f(x)在 a,b 内可导,且lim f(x) lim f(x) A,其中A ,则存在 (a,b)
x a
x b
使得f ( ) 0.
证明由于f(x)在 a,b 内可导,则必有f(x)在 a,b 上连续 又有lim f(x) lim f(x) A
x a
x b
1当A 时,对f(x)在a,b两点进行连续延拓,使得f(a) f(b) A ○
则有f(x)在 a,b 上连续,在(a,b)内可导且有f(a) f(b) A 所以,满足罗尔定理的条件,存在 (a,b)使得f ( ) 0. 2当A 时,由于lim f(x) lim f(x) A ○x ax b故存在x1,x2 a,b ,x1 x2,使得f(x1) f(x2)
所以f(x)在 x1,x2 上连续,在(x1,x2)内可导,满足罗尔定理,即存在 (a,b)使得