微分中值定理毕业论文
证明因为f (x)在 a,b 上严格单调,不妨设其严格单调递增, 由定义2,函数f(x)在
a,b 上是向下凸的,再由定义1,任意的 a,b ,有
f(x) f( ) f ( )(x ),x (a,b)
所以,切线g1(x) f( ) f ( )(x )在曲线f(x)下方,所以存在 的 ( 0)邻域使得直线g1(x)的平行线g2(x) t f ( )x与f(x)有两个交点,假设交点为
(x1,f(x1)),(x2,f(x2)),x1,x2 ( , ).
即有
g2(x1) f(x1)
g(x) f(x)2 22
得到f ( )
f(x2) f(x1)
,结论得证.
x2 x1
定理12（柯西中值定理的弱逆定理）设f(x),g(x)在 a,b 上连续,在 a,b 内可微,且
f (x)
严格单调,g (x) 0,则对于任意的 a,b 存在x1 x2,使得 g (x)
f ( )f(x2) f(x1)
g( )g(x2) g(x1)
成立.
证明对任意的 a,b ,作辅助函数
F(x) f(x)
f ( )
g(x). g ( )
显然,F(x)在 a,b 上连续,在 a,b 内可微,并且由
f (x)
严格单调,可知F (x)也严格单调.由g (x)
定理11知,对任意的 a,b ,存在x1 x2使得
F(x2) F(x1) F ( ) x2 x1
成立.而F ( ) f ( )
f ( )
g ( ) 0,所以有,F(x2) F(x1) 0,整理得 g( )