微分中值定理毕业论文
推论设f(x)、g(x)都在区间K上可导,且f (x) g (x),则
f(x) g(x) c
3.4 柯西中值定理
定理4 设函数f(x)、g(x)满足:
(1) 在闭区间 a,b 上连续;
(2) 在开区间 a,b 内可导,且g (x) 0; 则至少存在一点 (a,b)使得
f ( )f(b) f(a)
. g ( )g(b) g(a)
证明由定理条件可知g(b) g(a),则存在 (a,b)使得g (x) 0,因此,只需证
f ( ) g(b) g(a) g ( ) f(b) f(a) 0.
为此,构造函数
F(x) f(x) g(b) g(a) g(x) f(b) f(a) ,x a,b
显然,F(x)在 a,b 上连续,在 a,b 内可导,且F(a) F(b) 根据罗尔定理,存在 (a,b)使得
F ( ) 0即f ( ) g(b) g(a) g ( ) f(b) f(a) 0
所以,
f ( )f(b) f(a)
. g( )g(b) g(a)
4 中值定理的推广
微分中值定理在数学分析中甚至是整个数学领域都占有非常重要的地位.
4.1 关于两个中值定理新的证明方法
4.1.1 罗尔定理的新证法