微分中值定理毕业论文
f ( ) 0.
综上所述,存在 (a,b)使得f ( ) 0. 拉格朗日中值定理的推广[4]
定理6 设f(x),g(x),h(x)在 a,b 连续,在 a,b 内可导,则存在 (a,b)使得
f(a)g(a)h(a)
f(b)g(b)h(b) 0. f ( )g ( )h ( )
证明作辅助函数
f(a)
H(x) f(b)
f(x)
g(a)h(a)g(b)
h(b), g(x)h(x)
很明显H(x)在 a,b 连续,在 a,b 内可导,且H(a) H(b) 0,则根据罗尔定理有,存在
(a,b)使得H ( ) 0,命题得证.
柯西定理的推广[4]
定理7 f(x),g(x)在 a,b 连续,在 a,b 内可导,任意x (a,b),有g (x) 0.则存在
(a,b)使得
f ( )f( ) f(a)
. g ( )g(b) g( )
证明作一个辅助函数
F(x) f(x) f(a) g(b) g(x) ,
则F(x)在 a,b 连续,在 a,b 内可导,且
F(a) f(a) f(a) g(b) g(a) 0,F(b) f(b) f(a) g(b) g(b) 0
所以F(x)在 a,b 上满足罗尔定理,即存在 (a,b)使得
F ( ) 0.