微分中值定理毕业论文
所以有lim
x x0
f(x) f(x0)
0即f (x0) 0
x x0
3.2 罗尔中值定理
定理2设f(x)满足:
(1) 在闭区间 a,b 上连续; (2) 在开区间 a,b 内可导; (3) f(a) f(b); 则至少存在一点 (a,b)使得
f ( ) 0.
罗尔定理的几何意义:若f(x)满足罗尔定理的条件,则在曲线y f(x)上至少存在一点P( ,f( )),使得点P处的切线平行于x轴(如图)
其中A(a,f(a)),B(b,f(b))
证法f(x)在开区间 a,b 内存在一极值点( ,f( )). 证明由于在闭区间上连续,从而存在最大值M,最小值m.
若M m则对 x a,b 有f(x) M m,即f(x)为常函数,所以f (x) 0.
若M m,由于f(a) f(b).M与m不同时为区间的端点,不妨设M f(a) f(b),
所以