微分中值定理毕业论文
f ( )f(x2) f(x1)
g( )g(x2) g(x1)
证毕.
5 微分中值定理的应用
微分学是整个数学分析的重要组成部分,而微分中值定理是微分学的核心内容,其建立了函数值与导数之间的关系,是用于证明等式,证明不等式,讨论方程根的存在性等问题的重要工具.
5.1 对微分中值定理进行验证
例1对函数f(x) 5x3 x 6在区间 0,1 上验证拉格朗日中值定理,并求出满足定理的
.
解显然f(x) 5x3 x 6在 0,1 上连续,在 0,1 内可导,满足拉格朗日中值定理的全部条件.故存在 0,1 使得f(1) f(0) f ( ),得到
1
. 5.2 利用微分中值定理证明等式和恒等式
给定等式 (a,b, ) 0,证明存在 a,b 使得等式成立;给定某恒等式,证明其成立. 例2设函数f(x)在 a,b 上连续,在 a,b 内可导.证明存在 a,b 使得
f(b) f(a) f ( )ln
证明利用柯西中值定理令
b
,0 a b. a
g(x) lnx,x 0
显然,g(x)在 a,b 上连续,在 a,b 内可导.且g (x) 所以,存在 a,b 使得
1
0 x