微分中值定理毕业论文
因为F (x) f (x) g(b) g(x) g (x) f(x) f(a) , 所以,F ( ) 0 f ( ) g(b) g( ) g ( ) f( ) f(a) ,即得
f ( )f( ) f(a)
. g ( )g(b) g( )4.2.2 拉格朗日中值定理推广[5]
定理8 若f(x)在有限开区间 a,b 内可导,且f(a 0)与f(b 0)存在,则至少存在一点 (a,b)使得
f ( )
f(b 0) f(a 0)
.
b a
1当f(a 0) f(b 0)时,由"罗尔定理的推广[4]"可知,结论成立. 证明○
2当f(a 0) f(b 0)时,作辅助函数 ○
F(x) f(x) f(a 0)
f(b 0) f(a 0)
(x a)
b a
由f(x)在 a,b 内可导知,F(x)在 a,b 内也可导,且
F(a 0) f(a 0) f(a 0)
f(b 0) f(a 0)
(a 0 a) 0
b a
f(b 0) f(a 0)
F(b 0) f(b 0) f(a 0) (b 0 a) 0
b a
根据"罗尔定理的推广[4]"可知,至少存在一点 (a,b)使得F ( ) 0.进而有
F ( ) f ( )
f(b 0) f(a 0)
0,
b a
即
f ( )
综上所述,存在一点 (a,b)使得
f(b 0) f(a 0)
b a
f ( )
f(b 0) f(a 0)
.
b a
柯西定理推广[5]