微分中值定理毕业论文
定理9 若f(x),g(x)在有限或无穷区间 a,b 中的任意一点有有限导数f (x)和g (x),任意x (a,b),g (x) 0,f(a 0),g(a 0),
f(b 0),g(b 0)都存在,则至少存在一点 (a,b)使得
f ( )f(b 0) f(a 0)
. g ( )g(b 0) g(a 0)
证明首先证明g(b 0) g(a 0) 0. 假设g(b 0) g(a 0) 0即g(b 0) g(a 0)
根据"罗尔定理的推广[4]"可知,至少存在一点 (a,b)使得g ( ) 0.与已知条件相互矛盾.其次,作辅助函数
F(x) f(x) f(a 0)
f(b 0) f(a 0)
[g(x) g(a 0)]
g(b 0) g(a 0)
由已知得,f(x)在 a,b 可导且
F(a 0) f(a 0) f(a 0)
f(b 0) f(a 0)
(a 0 a) 0
g(b 0) g(b a)
f(b 0) f(a 0)
(b 0 a) 0
g(b 0) g(a 0)
F(b 0) f(b 0) f(a 0)
所以,F(a 0) F(b 0).根据"罗尔定理的推广[4]",至少存在一点 (a,b)使得F ( ) 0即
f ( )f(b 0) f(a 0)
g ( )g(b 0) g(a 0)
4.2.3 微分中值定理的推广[3]
定理10设函数f1(x),f2(x) ,fn(x)在 a,b 上连续, 在 a,b 内可导,且
fi(a) fi(b),i 1,2, ,n.
则在 a,b 内至少存在一点 ,使得