微分中值定理毕业论文
f ( )f(b) f(a)f(b) f(a)
g ( )g(b) g(a)lna
所以,f(b) f(a) f ( )ln
例3设函数f(x)在 a,a 上连续,在 a,a 内可导,且f( a) f(a) 0.证明对任意常数k,存在 a,a ,有f ( ) kf( ) 0.
证明利用罗尔定理,构造函数
F(x) f(x)ekx
b
.证毕. a
由于f(x)在 a,a 上连续, 在 a,a 内可导,且f( a) f(a) 所以,F( a) F(a) 0,且F(x)在 a,a 上连续,在 a,a 内可导 所以,存在 a,a 使得
F ( ) 0
即f ( ) kf( ) 0.
1在 a,b 上连续;○2在 a,b 内可导; 例4设f(x)满足:○
证明存在 a,b ,使得f ( ) f( ). 证法同例6,令k 1即可证得.
小结如例3,例7中用罗尔定理证明,需要构造出原函数,此类函数有固定的原型
F(x) f(x)eg(x),利用微分中值定理容易得到想要证明的结论.
例5设f(a) f(b) f(c) 3,f(3) 1,f(x)在 0,3 上连续在 0,3 内可导,
a,b,c 0,3 .则有 0,3 使得f ( ) 0.
证明由于f(a) f(b) f(c) 3,且f(x)在 0,3 上连续在 0,3 内可导 所以,必存在k 0,3 使得f(k) f(3) 1 根据罗尔定理,存在 k,3 0,3 使得