反常积分的审敛法
定理 5设函数 f ( x )在区间[a,+∞ )上连续，如果∫+∞ a
f ( x ) dx收敛,则∫
+∞
a
f ( x )dx也收敛.
1证令 ( x)=[ f ( x)+ f ( x)] 2+∞∵ ( x )≥ 0,且 ( x )≤ f ( x ),又∫ f ( x ) dx收敛, a∴∫ ( x )dx也收敛 .∵ f ( x )= 2 ( x ) f ( x ),取t> aa+∞
∴∫ f ( x )dx= 2∫ ( x )dx ∫ f ( x ) dx,a a a
t
t
t
令t→+∞,得
∫
+∞
a
f ( x )dx= 2∫ ( x )dx ∫a+∞ a
+∞
+∞
a
f ( x ) dx .
∴∫
f ( x )dx收敛