反常积分的审敛法(3)

反常积分的审敛法

证

∵ f ( x )≥ 0, x∈[a,+∞ )

d x即F ' ( x )=[∫a f ( t )dt]= f ( x )≥ 0, x∈[a,+∞ ) dx

∴ F ( x )在[a,+∞ )上是单调增加的 .∵ F ( x )在[a,+∞ )上有上界∴ lim F ( x )存在x→+∞

(极限的存在准则)

即 lim∴∫

x→+∞ a+∞

∫

x

f ( t )dt存在

a

f ( x )dx收敛