反常积分的审敛法
定理 4 (极限审敛法1)设函数 f ( x )在区间[a,+∞ ) (a> 0)上连续，且 f ( x )≥ 0.如果存在常数 p> 1,使得 lim x p f ( x )存在，x→+∞+∞
则∫
a
f ( x )dx收敛；x→+∞
如果 lim xf ( x )= d> 0 (或 lim xf ( x )=+∞ ),则x→+∞
∫
+∞
a
f ( x )dx发散.
证明
例2判别反常积分2
∫
+∞
dx x 1+ x2
1
的收敛性 .
1= 1, p= 2> 1解∵ lim x 2 x→+∞ x 1+ x
∴所给反常积分收敛. (极限审敛法1)