数值分析第五版答案(李庆扬)
f (xj) an (xj xi)，再由差商的性质1和3可知：
i 1i j
n
f (x
j 1
n
xkj
j)
j 1
n
xkj
an (xj xi)
i 1
i jn
1k1(xk)(n 1)
，从而得证。 x[x1, ,xn]
anan(n 1)!
15、证明n阶均差有下列性质：
1）若F(x) cf(x)，则F[x0,x1, ,xn] cf[x0,x1, ,xn]；
2）若F(x) f(x) g(x)，则F[x0,x1, ,xn] f[x0,x1, ,xn] g[x0,x1, ,xn]。
F[x0,x1, ,xn]
j 0
n
F(xj)
(x
i 0i j
n
j
xi)
j 0
n
cf(xj)
(x
i 0i j
n
j
xi)
。
[证明]1）
c
j 0
n
f(xj)
(x
i 0i j
n
cf[x0,x1, ,xn]
j
xi)F(xj)
j 0n
F[x0,x1, ,xn]
j 0
n
f(xj) g(xj)
(x
i 0i j
n
n
j
xi)
(x
i 0i j
n
j
xi)
。
2）
j 0
n
f(xj)
(x
i 0i j
n
j
xi)
j 0
n
g(xj)
(x
i 0i j
f[x0,x1, ,xn] g[x0,x1, ,xn]
j
xi)
f(8)( )0
0。16、f(x) x x 3x 1，求f[2,2, ,2]，f[2,2, ,2] 8!8!
7
4
1
7
1
8
f(7)( )7!
1，f[20,21, ,28]。 [解]f[2,2, ,2]
7!7!
1
7
17、证明两点三次埃尔米特插值余项是
R3(x) f(4)( )(x xk)2(x xk 1)2/4!, xk,xk 1 ，
并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限。
8
hmaxfk 。 [解]见P30与P33，误差限为 (h)
270 k n
18、XXXXXXXXXX．
19、求一个次数不高于4次的多项式P(x)，使它满足P(0) P (0) 0，
P(1) P (1) 1，P(2) 1。