数值分析第五版答案(李庆扬)
b
a
S (x)[f (x) S (x)]dx {S (x)[f (x) S (x)]}ba [f(x) S(x)]S(x)dx
a
ba
b
S (b)[f (b) S (b)] S (a)[f (a) S (a)] A [f (x) S (x)]dx S (b)[f (b) S (b)] S (a)[f (a) S (a)] A[f(x) S(x)]ba
S (b)[f (b) S (b)] S (a)[f (a) S (a)]
。
补充题：1、令x0 0，x1 1，写出y(x) e x的一次插值多项式L1(x)，并估计插值余项。
[解]由y0 y(x0) e 0 1，y1 y(x1) e 1可知，
L1(x) y0
x x0x x1x 1 1x 0 y1 1 e x0 x1x1 x00 11 0，
(x 1) e 1x 1 (e 1 1)x
f ( )e
(x x0)(x x1) x(x 1), 0,1 ， 余项为R1(x) 2!2
故R1(x)
1111 maxe maxx(x 1) 1 。
0 x 120 1248
2、设f(x) x4，试利用拉格朗日插值余项定理写出以 1,0,1,2为插值节点的三次插值多项式。
[解]由插值余项定理，有
f(4)( )
R3(x) (x x0)(x x1)(x x2)(x x3)
4!，
4!
(x 1)x(x 1)(x 2) (x2 2x)(x2 1) x4 2x3 x2 2x4!
从而L3(x) f(x) R3(x) x4 (x4 2x3 x2 2x) 2x3 x2 2x。 3、设f(x)在 a,b 内有二阶连续导数，求证：
maxf(x) [f(a)
a x b
f(b) f(a)1
(x a (b a)2maxf (x)。
a x bb a8
f(b) f(a)
(x a)是以a，b为插值节点的f(x)的线性插值多项
b a
式，利用插值多项式的余项定理，得到：
f(b) f(a)1
f(x) [f(a) (x a)] f ( )(x a)(x b)，从而
b a2
[证]因为f(a)