数值分析第五版答案(李庆扬)
第三章 函数逼近与计算（80-82）
1、（a）利用区间变换推出区间为 a,b 的伯恩斯坦多项式；
（b）对f(x) sinx在 0, 上求1次和3次伯恩斯坦多项式并画出图形，并与
2
相应的马克劳林级数部分和误差做出比较。
[解]（a）令x a (b a)t，则t 0,1 ，从而伯恩斯坦多项式为
Bn(f,x) f(
k 0n
n k(b a)kn k
。 )Pk(x)，其中Pk(x) x(b a x) k n
（b）令x
t，则t 0,1 ，从而伯恩斯坦多项式为 2
n
Bn(f,x) f(
k 01
k
n k n k
。 )Pk(x)，其中Pk(x) x( x) 2n2 k
1 0 1 1
B1(f,x) f()Pk(x) f(0) x x f()x x 22 1 2 k 0 0 2；
sin0 x sin x 0 x x x
2 2 2
k
B3(f,x) f(
k 0
3
k
6
)Pk(x)
3 0 3 1 32
f(0) 0 x(2 x) f(6) 1 x(2 x)
3 2 3 3 10
f() x( x) f()x( x) 3 22 2 2 3
。
sin0 x sin 3x( x)2 sin 3x2( x) sin x3
62322 2
3 32 3 23 223
x( x) x( x) x (x x2 x3) (x x3) x3
222224223 231 x (2 3)x2 (33 5)x3
8422、求证：（a）当m f(x) M时，m Bn(f,x) M； （b）当f(x) x时，Bn(f,x) x。
k
[证明]（a）由Bn(f,x) f()Pk(x)及m f(x) M可知，
nk 0
n
3