数值分析第五版答案(李庆扬)
第二章 插值法（40-42）
1、根据（2.2）定义的范德蒙行列式，令
1 Vn(x0,x1, ,xn 1,x) 1 1
x0xn 1x
2
x0
2xn 1
x2
n
x0
，证明Vn(x)是n次多项式，它的n xn 1 n
x
根是x1,x2, ,xn 1，且Vn(x0,x1, ,xn 1,x) Vn 1(x0,x1, ,xn 1)(x x0) (x xn 1)。
Vn(x0,x1, ,xn 1,x) (xi xj) (x xj)
[证明]由
i 0j 0
j 0
n 1i 1n 1
Vn 1(x0,x1, ,xn 1) (x xj)
j 0
n 1
可得求证。
2、当x 1, 1,2时，f(x) 0, 3,4，求f(x)的二次插值多项式。
L2(x) y0
[解] 0
(x x0)(x x2)(x x0)(x x1)(x x1)(x x2)
y1 y2
(x0 x1)(x0 x2)(x1 x0)(x1 x2)(x2 x0)(x2 x1)
。
(x 1)(x 2)(x 1)(x 2)(x 1)(x 1)
( 3) 4
(1 1)(1 2)( 1 1)( 1 2)(2 1)(2 1)14537 (x2 3x 2) (x2 1) x2 x
23623
3、给出f(x) lnx的数值表用线性插值及二次插值计算ln0.54的近似值。
[解]若取x0 0.5，x1 0.6，
则y0 f(x0) f(0.5) 0.693147，y1 f(x1) f(0.6) 0.510826，则
L1(x) y0
x x0x x1x 0.6x 0.5
y1 0.693147 0.510826 x0 x1x1 x00.5 0.60.6 0.5，
6.93147(x 0.6) 5.10826(x 0.5) 1.82321x 1.604752
从而L1(0.54) 1.82321。 0.54 1.604752 0.9845334 1.604752 0.6202186若取x0 0.4，x1 0.5，x2 0.6，则y0 f(x0) f(0.4) 0.916291，
y1 f(x1) f(0.5) 0.693147，y2 f(x2) f(0.6) 0.510826，则