高考数学专题：立体几何新题型的解题技巧
A B O y Q
α x
O (0， 0) ， B ( 3， 0) ， A(0，3， ， C (0，1) ． 0， 0， 0) 0，
所以 AB = ( 3， 3， ， AC = (0， 3， ． 0) 1) 设 n1 = { x，y，z} 是平面 ABC 的一个法向量，由
n1 i AB = 0， 3 x 3 y = 0， 得 n1 i AC = 0 3 y + z = 0
， ， 取 x = 1 ，得 n1 = (11 3) ． ， 0) 易知 n2 = (1 0， 是平面 β 的一个法向量． n2 设二面角 B AC P 的平面角为 θ ，由图可知， θ =< n1， > ．
所以 cos θ =
n1 n2 1 5 = = ． | n1 |i| n2 | 5 ×1 5
5 ． 5
故二面角 B AC P 的大小为 arccos
小结：本题是一个无棱二面角的求解问题.解法一是确定二面角的棱，进而找出二面角的平 小结 面角.无棱二面角棱的确定有以下三种途径：①由二面角两个面内的两条相交直线确定棱， ②由二面角两个平面内的两条平行直线找出棱， ③补形构造几何体发现棱； 解法二则是利用
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平面向量计算的方法， 这也是解决无棱二面角的一种常用方法， 即当二面角的平面角不易作 出时，可由平面向量计算的方法求出二面角的大小. ( 在四棱锥 P－ABCD 中， ⊥ 底面 ABCD, ∠ DAB 为直角， ‖ PA AB 例 9． 2006 年重庆卷)如图， CD，AD=CD=2AB, E、F 分别为 PC、CD 的中点. （Ⅰ）试证：CD ⊥ 平面 BEF； （Ⅱ） PA＝k 设 AB,且二面角 E-BD-C 的平面角大于 30° , 求 k 的取值范围. 命题目的：本题主要考查直线与平面垂直、二面角等基本 命题目的 知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力. 过程指引： 方法二关键是掌握利用空 过程指引 方法一关键是用恰当的方法找到所求的空间距离和角； 间向量求空间距离和角的一般方法. 解答过程： 解答过程 解法一： （Ⅰ）证：由已知 DF // AB 且 ∠ DAD 为直角，
=
故 ABFD 是矩形，从而 CD ⊥ BF. 又 PA ⊥ 底 面 ABCD,CD ⊥ AD ， 故 由 三 垂 线 定 理 知 CD ⊥ PD.在△PDC 中，E、F 分别 PC、CD 的中点，故 EF∥PD,从而 CD ⊥ EF,由此得 CD ⊥ 面 BEF. （Ⅱ） 连结 AC 交 BF 于 G.易知 G 为 AC 的中点.连接 EG,则在△PAC 中易知 EG∥PA.又因 PA ⊥ 底面 ABCD,故 EG ⊥ 底面 ABCD.在底面 ABCD 中， 过 G 作 GH ⊥ BD,垂足为 H,连接 EH.由三垂线定理知 EH ⊥ BD.从而 ∠ EHG 为二面角 E-BD-C 的平面角. 设 AB=a,则在△PAC 中，有 EG=
1 1 PA= ka. 2 2
以下计算 GH，考察底面的平面图.连结 GD. 因 S△GBD=
1 1 BDGH= GBDF. 2 2 GB DF 故 GH= . BD
在△ABD 中，因为 AB＝a,AD=2a,得 BD= 5 a. 而 GB=
1 1 FB= AD=a，DF=AB,从而得 2 2
GH=
GB AB a a 5 = ＝ a. BD 5 5a
1 ka 5 EG 2 因此 tan∠EHG= = = k. GH 2 5 a 5
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