高考数学专题：立体几何新题型的解题技巧
3 . 9
从而异面直线 AQ 与 PB 所成的角是 arccos (Ⅲ)连结 OM，则 OM = 所以∠MQP＝45°. 1 1 AB = 2 = OQ. 2 2
由（Ⅰ）知 AD⊥平面 PMQ，所以平面 PMQ⊥平面 QAD. 过 P 作 PH⊥QM 于 H，PH⊥平 面 QAD.从而 PH 的长是点 P 到平面 QAD 的距离. 又 PQ = PO + QO = 3,∴ PH = PQ sin 450 =
3 2 .. 2
z P
即点 P 到平面 QAD 的距离是 方法二
3 2 . 2
D
（Ⅰ）连结 AC、BD，设 AC ∩ BD = O .
A
C O B y
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由 P－ABCD 与 Q－ABCD 都是正四棱锥，所以 PO⊥平面 ABCD，QO⊥平面 ABCD. 从而 P、O、Q 三点在一条直线上，所以 PQ⊥平面 ABCD. （Ⅱ）由题设知，ABCD 是正方形，所以 AC⊥BD. 由（Ⅰ） ，QO⊥平面 ABCD. 故可分别以直线 CA、DB、QP 为 x 轴、y 轴、z 轴建立空 间直角坐标系（如图） ，由题条件，相关各点的坐标分别是 P（0，0，1） ，A（ 2 2 ，0，0） ， Q（0，0，－2） ，B（0， 2 2 ，0）. 所以 AQ = (2 2 ,0,2)
PB = (0, 2 2, 1)
于是 cos AQ , PB =
3 . 9
(Ⅲ)由（Ⅱ） ，点 D 的坐标是（0，－ 2 2 ，0） AD = ( 2 2 ,2 2 ,0) ， ， PQ = (0, 0, 3) ，设 n = ( x, y, z ) 是平面 QAD 的一个法向量，由
n AQ = 0 2 x + z = 0 得 . n AD = 0 x + y = 0
取 x=1，得 n = (1,1, 2 ) . 所以点 P 到平面 QAD 的距离 d = 考点 2 异面直线的距离 此类题目主要考查异面直线的距离的概念及其求法， 考纲只要求掌握已给出公垂线段的 异面直线的距离. 典型例题 例 3 已知三棱锥 S ABC ，底面是边长为 4 2 的正三角形，棱 SC 的长为 2，且垂直于底 面. E、D 分别为 BC、AB 的中点，求 CD 与 SE 间的距离. 思路启迪：由于异面直线 CD 与 SE 的公垂线不易寻找，所以设法 思路启迪 将所求异面直线的距离，转化成求直线与平面的距离，再进一步 转化成求点到平面的距离. 解答过程： 解答过程 如图所示，取 BD 的中点 F，连结 EF，SF，CF，
PQ n n
=
3 2 . 2
∴ EF 为 BCD 的中位线，∴ EF ∥ CD ,∴ CD ∥面 SEF ,
∴ CD 到平面 SEF 的距离即为两异面直线间的距离. 又∵ 线面之间的距离可转化为线 CD 上一点 C 到平面 SEF
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