高考数学专题：立体几何新题型的解题技巧
D
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连结 DB ，得 △DAB 的面积 S 2 =
1 AB i AD sin135 = 2 2
设 D 到平面 SAB 的距离为 h ，由于 VD SAB = VS ABD ，得
1 1 hi S1 = SO i S 2 ，解得 h = 2 ． 3 3
设 SD 与平面 SAB 所成角为 α ，则 sin α = h =
SD
2 22 ． = 11 11
所以，直线 SD 与平面 SBC 所成的我为 arcsin 22 ．
11
解法二： （Ⅰ）作 SO ⊥ BC ，垂足为 O ，连结 AO ，由侧面 SBC ⊥ 底面 ABCD ，得 SO ⊥ 平面 ABCD ． 因为 SA = SB ，所以 AO = BO ． 又 ∠ABC = 45 ， △ AOB 为等腰直角三角形， AO ⊥ OB ． S 如图，以 O 为坐标原点， OA 为 x 轴正向，建立直角坐标系 O xyz ，
z
A( 2， 0) ， B (0， 2， ， C (0， 2， ， S (0，1) ， SA = ( 2， 1) ， 0， 0) 0) 0， 0， CB = (0， 2， ， SAiCB = 0 ，所以 SA ⊥ BC ． 2 0)
（Ⅱ）取 AB 中点 E ， E 2 ， 2 ， ， 0
2 2
1 连结 SE ，取 SE 中点 G ，连结 OG ， G 2 ， 2 ， ． 4 4 2
G
C
O
A
D
E
B
y
x
2 2 1， 2 2 ， AB = ( 2， 2， ． 0) OG = 1 4 ，4 ， SE = 2 ，2 ， 2 SE iOG = 0 ， ABiOG = 0 ， OG 与平面 SAB 内两条相交直线 SE ， AB 垂直．
所以 OG ⊥ 平面 SAB ，OG 与 DS 的夹角记为 α ，SD 与平面 SAB 所成的角记为 β ， α 与 则
β 互余．
D ( 2， 2， ， DS = ( 2， 2， ． 2 0) 2 1)
cos α = OG i DS OG i DS = 22 ， sin β = 22 ， 11 11
所以，直线 SD 与平面 SAB 所成的角为 arcsin 22 ． 11
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小结：求直线与平面所成的角时，应注意的问题是（1）先判断直线和平面的位置关系；