高考数学专题：立体几何新题型的解题技巧
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由 k＞0 知 ∠EHG 是锐角，故要使 ∠EHG ＞ 30° ，必须
5 3 k ＞tan 30° = , 2 3
解之得，k 的取值范围为 k＞ 解法二： （Ⅰ）如图，以 A 为原点，AB 所在直线为 x 轴，AD 所在直线为 y 轴，AP 所在直线为 z 轴 建立空间直角坐标系，设 AB=a,则易知点 A,B,C,D,F 的坐标分别为 A(0,0,0),B(a,0,0),C(2a,2a,0),D(0,2a,0), F(a,2a,0). 从而 DC =(2a,0,0), BF =(0,2a,0),
2 15 . 15
DC BF =0,故 DC ⊥ BF
.
设 PA=b,则 P(0,0,b),而 E 为 PC 中点.故 E a, a,
b . 2
从而 BE = 0, a,
b ， DC BE =0,故 DC ⊥ BE . 2
由此得 CD ⊥ 面 BEF. （Ⅱ） E 在 xOy 平面上的投影为 G， G 作 GH ⊥ BD 垂足为 H,由三垂线定理知 EH ⊥ BD. 设 过 从而 ∠ EHG 为二面角 E-BD-C 的平面角. 由 PA＝kAB 得 P(0,0,ka),E a, a,
ka ,G(a,a,0). 2
设 H(x,y,0)，则 GH =(x-a,y-a,0), BD =(-a,2a,0), 由 GH BD =0 得-a(x-a)+2a(y-a)=0,即 x-2y=-a ①
又因 BH =(x-a,y,0),且 BH 与 BD 的方向相同，故 2x+y=2a 由①②解得 x= ② xa y ＝ ，即 a 2a
3 4 5 1 2 a,y= a,从而 GH ＝ a, a,0 ，｜ GH ｜＝ a. 5 5 5 5 5
ka 5 tan∠EHG= = 2 = k. 2 5 GH a 5 EG
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由 k＞0 知，∠EHG 是锐角，由 ∠ EHG＞ 30°, 得 tan∠EHG＞tan 30°, 即 5 3 k＞ . 2 3
故 k 的取值范围为 k＞
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考点 7 利用空间向量求空间距离和角 众所周知，利用空间向量求空间距离和角的套路与格式固定.当掌握了用向量的方法解 决立体几何问题这套强有力的工具时， 不仅会降低题目的难度， 而且使得作题具有很强的操 作性. 典型例题 江苏卷） 例 10． 2007 年江苏卷） ． （ 如图，已知 ABCD A1 B1C1 D1 是棱长为 3 的正方体， 点 E 在 AA1 上，点 F 在 CC1 上，且 AE = FC1 = 1 ． （1）求证： E，B，F，D1 四点共面； （2）若点 G 在 BC 上， BG =
D1 C1
F M D
A1 B1
E A H
C
G B