高考数学专题：立体几何新题型的解题技巧
2 ，点 M 在 BB1 上， 3
GM ⊥ BF ，垂足为 H ，求证： EM ⊥ 平面 BCC1 B1 ；
（3）用 θ 表示截面 EBFD1 和侧面 BCC1 B1 所成的锐二面角的大小，求 tan θ ． 命题意图：本小题主要考查平面的基本性质、线线平行、线面垂直、 命题意图：本小题主要考查平面的基本性质、线线平行、线面垂直、二面角等基础知识和 基本运算，考查空间想象能力、逻辑推理能力和运算能力 能力和运算能力． 基本运算，考查空间想象能力、逻辑推理能力和运算能力． 过程指引：解法一： 过程指引 （1）如图，在 DD1 上取点 N ，使 DN = 1 ，连结 EN ，CN ， 则 AE = DN = 1 ， CF = ND1 = 2 ． 因为 AE ∥ DN ，ND1 ∥ CF ， 所以四边形 ADNE ，CFD1 N 都为平行四边形． 从而 EN ∥ ， FD1 ∥ CN ． AD D1
A1 B1
C1
F
N
M D
E A H
C
G B
又因为 AD ∥ ，所以 EN ∥ ，故四边形 BCNE 是平行四边形，由此推知 CN ∥ BE ， BC BC 从而 FD1 ∥ BE ． 因此， E，B，F，D1 四点共面． （2）如图， GM ⊥ BF ，又 BM ⊥ BC ，所以∠BGM = ∠CFB ，
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BM = BG itan ∠BGM = BGi tan ∠CFB = BG i
BC 2 3 = × = 1． CF 3 2
因为 AE ∥ BM ，所以 ABME 为平行四边形，从而 AB ∥ EM ． 又 AB ⊥ 平面 BCC1 B1 ，所以 EM ⊥ 平面 BCC1 B1 ． （3）如图，连结 EH ． 因为 MH ⊥ BF ， EM ⊥ BF ，所以 BF ⊥ 平面 EMH ，得 EH ⊥ BF ． 于是∠EHM 是所求的二面角的平面角，即∠EHM = θ ． 因为∠MBH = ∠CFB ，所以 MH = BM isin ∠MBH = BM isin ∠CFB
= BM i BC BC + CF
2 2
= 1×
3 3 +2
2 2
=
EM 3 ， tan θ = = 13 ． MH 13
解法二：
3， （1）建立如图所示的坐标系，则 BE = (3，1) ， BF = (0， 2) ， BD1 = (3，3) ， z 0， 3，
D1
所以 BD1 = BE + BF ，故 BD1 ， BE ， BF 共面． 又它们有公共点 B ，所以 E，B，F，D1 四点共面．
A1 B1