高考数学专题：立体几何新题型的解题技巧
S MNCB＝
2＋4 KL ＝ 3 3 . 2 1 3 3 3 ＝ . 2 2
∴ VA－MNCB＝ 3 3 ∴ 答案 A
例 17.如图，四棱锥 P—ABCD 中，底面是一个矩形，AB＝3，AD＝1，又 PA⊥AB，PA＝4， ∠PAD＝60° ① 求四棱锥的体积； ② 求二面角 P－BC－D 的大小. 思路启迪①找棱锥高线是关键， 由题中条件可设△PAD 的 高 PH 即是棱锥的高. ②找出二面角平面角∠PEH， Rt△PHE 中即可求出此角. 在 解答过程：①∵ PA⊥AB ，AD⊥AB. ∴ AB⊥面 PAD .又 AB 面 ABCD. ∴ 面 PAD⊥面 ABCD. 在面 PAD 内，作 PH⊥AD 交 AD 延长线于 H. 则 PH⊥面 ABCD ，即 PH 就是四棱锥的高. 又∠PAD＝60°，∴ PH＝ PA sin 60°＝4 A B D H C E P 3 ＝2 3 . 2
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∴ VP－ABCD＝ S ABCD PH＝ 3 × 1 2 3＝2 3 . ② 过 H 作 HE⊥BC 交 BC 延长线于 E，连接 PE， 则 HE＝AB＝3. ∵ PH⊥面 ABCD， ∴ PE⊥BC. ∴ ∠PEH 为二面角 P－BC－D 的平面角. ∴ tan∠PEH＝
1 3
1 3
PH 2 3 . ＝ HE 3 2 3 . 3 2 ，则线段 9
O O1 r R A
即二面角的大小为 arctan
例 18 .（2006 年全国卷Ⅱ）已知圆 O1 是半径为 R 的球 O 的一 个小圆，且圆 O1 的面积与球 O 的表面积的比值为 OO1 与 R 的比值为 .
命题目的：①球截面的性质；②球表面积公式.
r 过程指引：依面积之比可求得 ，再在 Rt△OO1A 中即得 R
解答过程：设小圆半径为 r，球半径为 R 则
πr 2 2 ＝ 2 9 4πR
r2 2 ＝ 2 9 4R
r 2 2 ＝ R 3
∴ cos∠OAO1＝
r 2 2 ＝ R 3
而
OO1 8 1 ＝sinα＝ 1－ ＝ R 9 3
1 3
C1 A1 D E C A B B1
故填
【专题训练与高考预测】 一、选择题 1．如图，在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中，已知 AB=1，
D 在 BB1 上， 且 BD=1，若 AD 与侧面 AA1CC1 所成的角为 α ，则 α 的值为 （ A. ） π 3
arctan 10 4
B.
π 4
6 4
）