高考数学专题：立体几何新题型的解题技巧
斜边 AB = 4 ． Rt△ AOC 可以通过
6
A
Rt△ AOB 以直线 AO 为轴旋转得到，且二面角 B AO C 的直二面 角． D 是 AB 的中点． D
（I）求证：平面 COD ⊥ 平面 AOB ； （II）求异面直线 AO 与 CD 所成角的大小． 思路启迪： 思路启迪 （II）的关键是通过平移把异面直线转化到一个三角形内. 解答过程：解法 1： （I）由题意， CO ⊥ AO ， BO ⊥ AO ， 解答过程 ∴∠BOC 是二面角 B AO C 是直二面角， ∴ CO ⊥ BO ，又∵ AO ∩ BO = O ，
O C
E
B
∴ CO ⊥ 平面 AOB ， 又 CO 平面 COD ． ∴ 平面 COD ⊥ 平面 AOB ． （II）作 DE ⊥ OB ，垂足为 E ，连结 CE （如图） ，则 DE ∥ AO ，
z
A 状元源打造最全的免费高考复习、学业水平考试复习资料，更多资料请到状元源下载。 D
状元源 http://www.77cn.com.cn/ 免注册、 免费提供中学高考复习各科试卷下载及高中学业水平测试各科资源下载
∴∠CDE 是异面直线 AO 与 CD 所成的角．
在 Rt△COE 中， CO = BO = 2 ， OE = 1 BO = 1 ，
2
∴ CE = CO 2 + OE 2 = 5 ．
又 DE = 1 AO = 3 ．
2
∴ 在 Rt△CDE 中， tan CDE = CE = 5 = 15 ．
DE 3 3
∴ 异面直线 AO 与 CD 所成角的大小为 arctan 15 ．
3
解法 2： （I）同解法 1． （II）建立空间直角坐标系 O xyz ，如图，则 O (0， 0) ， A(0， 2 3) ， C (2， 0) ， D (0， 3) ， 0， 0， 0， 1，
1， ∴ OA = (0， 2 3) ， CD = ( 2， 3) ， 0，
∴ cos < OA， >= CD
OAiCD OA i CD
=
6 6． = 4 2 3 i2 2
∴ 异面直线 AO 与 CD 所成角的大小为 arccos 6 ．
4 小结： 求异面直线所成的角常常先作出所成角的平面图形，作法有：①平移法：在异面直 小结
线中的一条直线上选择“特殊点” ，作另一条直线的平行线，如解析一，或利用中位线，如 解析二；②补形法：把空间图形补成熟悉的几何体，其目的在于容易发现两条异面直线间的 关系，如解析三.一般来说，平移法是最常用的，应作为求异面直线所成的角的首选方法.同 时要特别注意异面直线所成的角的范围： 0, π .
2