高考数学专题：立体几何新题型的解题技巧
积转化成三个侧面面积之和， 侧面 BCC1B1 是正 方形，侧面 ACC1A1 和侧面 ABB1A1 是平行四边形，分别求其 面积即可. 解答过程：①点 A1 在底面 ABC 的射影在 AC 上， ∴ 平面 ACC1A1⊥平面 ABC. 在△ABC 中，由 BC＝AC＝a，AB＝ 2 a. ∴ ∠ACB＝90°，∴ BC⊥AC. ∴ BC⊥平面 ACC1A1. 即 ∠CAB 为 AB 与侧面 AC1 所成的角在 Rt△ABC 中，∠CAB＝45°. ∴ AB 与侧面 AC1 所成角是 45°. ② ∵ O 是 AC 中点，在 Rt△AA1O 中，AA1＝a，AO＝ A D B O C B1 A1 C1
1 a. 2
∴ AO1＝
3 a. 2 3 2 a . 2
∴ 侧面 ACC1A1 面积 S1＝ AC AO1＝ 又 BC⊥平面 ACC1A1 ， ∴ BC⊥CC1.
又 BB1＝BC＝a ，∴ 侧面 BCC1B1 是正方形，面积 S2＝a2. 过 O 作 OD⊥AB 于 D ，∵ A1O⊥平面 ABC， ∴A1D⊥AB. 在 Rt△AOD 中，AO＝
1 a ，∠CAD＝45° 2
∴ OD＝
2 a 4
在 Rt△A1OD 中，A1D＝ OD 2＋A1O 2 ＝ （
7 2 2 3 2 a. a）＋（ a） ＝ 8 4 2 7 7 2 a＝ a . 2 8
∴ 侧面 ABB1A1 面积 S3＝ AB A1 D＝ 2a
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∴
三 棱 柱 侧 面 积
S ＝ S1 ＋ S2 ＋ S3 ＝ A
1 （2＋ 3＋ 7）a 2 . 2
例 16. 等边三角形 ABC 的边长为 4，M、N 分别为 AB、AC 的中点，沿 MN 将△AMN 折起，使得面 AMN 与面 MNCB 所成的二面角为 30°， 则四棱锥 A—MNCB 的体积为 （ ） B C、 M
K
N
L A
3 A、 2
D、3
3 B、 2
C
3
[思路启迪]先找出二面角平面角，即∠AKL ,再在△ AKL 中求出棱锥的高 h，再利用 V＝
1 Sh 即可. 3
M K
N C L B
解答过程：在平面图中，过 A 作 AL⊥BC，交 MN 于 K，交 BC 于 L. 则 AK⊥MN，KL⊥MN. ∴ ∠AKL＝30°. 则四棱锥 A—MNCB 的高 h＝ AK sin30° ＝
3 . 2