高考数学专题：立体几何新题型的解题技巧
水平测试各科资源下载
解答过程：解法一： （Ⅰ）取 BC 中点 O ，连结 AO ． 解答过程 ∵△ ABC 为正三角形，∴ AO ⊥ BC ．
A F C O B D
A1
∵ 正三棱柱 ABC A1 B1C1 中，平面 ABC ⊥平面 BCC1 B1 ，
∴ AO ⊥ 平面 BCC1 B1 ．
C1 B1
连结 B1O ，在正方形 BB1C1C 中， O，D 分别为
BC，CC1 的中点， ∴ B1O ⊥ BD ， ∴ AB1 ⊥ BD ．
在正方形 ABB1 A1 中， AB1 ⊥ A1 B ， ∴ AB1 ⊥ 平面 A1 BD ． （Ⅱ） AB1 与 A1
B 交于点 G ， 设 在平面 A1 BD 中， GF ⊥ A1 D 于 F ， 作 连结 AF ， （Ⅰ） AB1 ⊥ 由 得 平面 A1BD ．
∴ AF ⊥ A1D ， ∴∠AFG 为二面角 A A1 D B 的平面角．
在 △ AA1 D 中，由等面积法可求得 AF = 4 5 ， 5 又∵ AG = 1 AB1 = 2 ， ∴ sin ∠AFG = AG = 2 = 10 ． 2 4 AF 4 5 5 所以二面角 A A1 D B 的大小为 arcsin 10 ． 4
（Ⅲ） △ A1 BD 中， BD = A1 D = 5，A1 B = 2 2， S△ A BD = 6 ， S△ BCD = 1 ． ∴ 1
在正三棱柱中， A1 到平面 BCC1 B1 的距离为 3 ． 设点 C 到平面 A1 BD 的距离为 d ． 由 VA BCD = VC A BD ，得 1 S△ BCD i 3 = 1 S△ A BD i d ，
1 1
3
3
1
∴d =
3S△ BCD 2． = S△ A1BD 2
∴ 点 C 到平面 A1BD 的距离为 2 ．
2
解法二： （Ⅰ）取 BC 中点 O ，连结 AO ． ∵△ ABC 为正三角形，∴ AO ⊥ BC ． ∵ 在正三棱柱 ABC A1 B1C1 中，平面 ABC ⊥平面 BCC1 B1 ，
∴ AD ⊥ 平面 BCC1 B1 ．
状元源打造最全的免费高考复习、学业水平考试复习资料，更多资料请到状元源下载。 状元源 http://www.77cn.com.cn/ 免注册、 免费提供中学高考复习各科试卷下载及高中学业水平测试各科资源下载
取 B1C1 中点 O1 ，以 O 为原点， OB ， OO1 ， OA 的方向为 x，y，z 轴的正方向建立空间直角坐 标系，则 B(1， 0) ， D ( 11， ， A1 (0， 3) ， A(0， 3) ， B1 (1， 0) ， 0， 0， 2， ，0) 2，
∴ AB1 = (1， 3) ， BD = (2，0) ， BA1 = (1， 3) ． 2， 1， 2， ∵ AB1 i BD = 2 + 2 + 0 = 0 ， AB1 i BA1 = 1 + 4 3 = 0 ， ∴ AB1 ⊥ BD ， AB1 ⊥ BA1 ． ∴ AB1 ⊥ 平面 A1 BD ．
z A F C O B D
A1
C1